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By Markus Junker

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Mit der K¨ urzungsregel folgt dann εp2 · · · pk = ε x1 q2 · · · ql . E. erh¨alt man induktiv pi = xi qi f¨ ur Einheiten xi und alle i = 1, . . , k. Also ist zuletzt ε = ε x1 · · · xn qk+1 · · · ql . Da Primelemente keine Einheiten sind, folgt l = k. 21 In faktoriellen Ringen sind irreduzible Elemente prim. Beweis: Mit Definition (I) sieht man es folgendermaßen: Sei u irreduzibel, u = p1 . . pk eine Schreibweise als Produkt von Primelementen. Falls a ∈ / R∗ und b ∈ R, dann ist ab ∈ aR = R, also ist auch ab keine Einheit.

Da Ch , Nh aber teilerfremd sind, ist Nh = 1. 6 Wenn p prim in R ist, dann ist auch p prim in R[X]. Wenn p(X) primitiv und irreduzibel in R[X] ist, dann ist p(X) prim in R[X]. Es gibt keine anderen Primelemente in R[X]. 3 gezeigt. 4, und damit, da K[X] faktoriell ist, auch prim in K[X]. Man betrachte nun den Homomorphismus ϕ : R[X]/p(X)R[X] → K[X]/p(X)K[X], f (X) + p(X)R[X] → f (X) + p(X)K[X]. Es reicht zu zeigen, dass es injektiv ist, denn dann ist R[X]/p(X)R[X] als Unterring des Integrit¨atsbereiches K[X]/p(X)K[X] auch ein Integrit¨ atsbereich.

Wegen der Eindeutigkeit tauchen die Faktoren von Ng1 . . Ngk in der Primfaktorzerlegung von Cg1 . . Cgk auf und k¨ onnen auf beiden Seiten weggelassen werden. 6 eine Zerlegung von f in Primelemente von R[X]. 1 (a) Ein Unterk¨ orper eines K¨ orpers ist eine Teilmenge, die unter den eingeschr¨ ankten Operationen wieder ein K¨ orper ist, also eine Teilmenge, die 0 und 1 enth¨ alt und unter Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division (durch Elemente ungleich null) abgeschlossen ist. (b) Der Primk¨ orper eines K¨ orpers ist der kleinste Unterk¨ orper, also der Schnitt u ¨ber alle Unterk¨ orper.

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Algebra by Markus Junker

by Jeff

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