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By Max Deuring (auth.)

ISBN-10: 3642896227

ISBN-13: 9783642896224

ISBN-10: 3642914799

ISBN-13: 9783642914799

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M 42 IV. Einfache Aigebren. [48 In dem besonderen Fall einer einfachen Algebra 'i8jP ergeben Satz 1 und Satz 4 in § 2: Satz 2. Eine einfache Algebra 'i8jP hat genau eine irreduzible reziproke Darstellungsklasse in einem Schiefkörper A mit dem Zentrum P. Alle reziproken Darstellungen von 'i8 in A sind vollständig reduzibel. ) 2. Wenn 'i8jP einfach ist, so wird 'i8A ein einfacher Ring, also'i8A = A~ Matrizesring vom Grade t in einem Schiefkörper A'. Ist r der Grad der irreduziblen Darstellung von 'i8 in A, so gilt ('i8: P) = rt.

In besonderen Fällen werden wir die Algebrenklassengruppe vollständig aufstellen (für Galoisfelder, reell ab~ geschlossene Körper, ~-adische Zahlkörper, Zahlkörper). Sie steht in tiefem Zusammenhang mit den algebraischen und arithmetischen Eigenschaften von P. 7. Zerfällungskörper einfacher normaler Algebren. Satz 12. Ist 2l/P eine einfache normale Algebra, Zein Erweiterungskörper von p, so ist auch 2lz eine einfache normale Algebra über Z. ) Beweis folgt aus § 2, Satz 5. Alle Algebren 2l einer Klasse {2l} von P gehen demnach bei Erweiterung von P über in Algebren 2lz einer Klasse {2lz} von Z; diese heißt die Erweiterungsklasse von {2l}.

Beachten wir dies, so folgt aus Satz 6 Sa tz 19. Die einlachen Teilalgebren m/p einer einlachen normalen Algebra 2l/P entsprechen den abgeschlossenen Untergruppen Sj der galoisschen Gruppe @ von 2l/P eineindeutig, so daß Sj die volle Gruppe aller m elementweise lestlassenden Automorphismen von 2l/P und umgekehrt m der Ring aller Elemente von 2l ist, die bei allen in Sj enthaltenen Automorphismen von 2l/P lest bleiben. (NOETHER [4J. ) Über Divisionsalgebren unendlichen Ranges: KÖTHE [3]. m m § 5.

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by Charles
4.5

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